Objem kužele

Kužel je těleso, které vypadá jako kornout od zmrzliny nebo jako dopravní kužel na silnici. Dole má kruhovou podstavu a nahoře se sbíhá do jednoho bodu, do vrcholu. Objem kužele nám, lidově řečeno, říká, kolik vody můžeme do takového kornoutu nalít.

Kužel s poloměrem podstavy r a výškou v

Červeně je vyznačený poloměr podstavy r, modře výška kužele v — to je vzdálenost vrcholu od podstavy. Výška stojí na podstavě kolmo. U obyčejného, nenakloněného kužele končí přesně ve středu podstavy a takovému kuželi se říká rotační.

Vzorec pro objem kužele

Pokud hledáte jen vzorec, pak objem kužele V, jehož podstava má poloměr r a který má výšku v, vypočítáte jako

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot v$

Například kužel s poloměrem podstavy r = 3 a výškou v = 10 má objem

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 3^{2} \cdot 10 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 90 = 30 π$

Pokud se vám nelíbí výsledek, ve kterém je konstanta pí, můžete za ni dosadit přibližnou hodnotu 3,14:

$V \approx 30 \cdot 3, 14 = 94, 2$

Jak jsme na to přišli?

Vzorec je skoro stejný jako vzorec pro objem válce, jen je v něm navíc ta jedna třetina. Objem válce, jehož podstava má poloměr r a který má výšku v, je

$V_{válce} = π \cdot r^{2} \cdot v$

Představte si teď válec a kužel, které mají stejnou podstavu i stejnou výšku. Kužel se do válce vejde přesně, jeho vrchol se dotkne středu horní podstavy válce:

Kužel uvnitř válce se stejnou podstavou a výškou

Na první pohled je vidět, že kužel je menší — kolem něj zbývá ve válci spousta volného místa. Ale o kolik je menší? Můžeme si to vyzkoušet. Kužel naplníme vodou a přelijeme ji do válce. Válec se zaplní jen do třetiny. Kužel naplníme podruhé a válec je plný do dvou třetin. Až třetí kužel vody zaplní válec až po okraj:

Voda ze tří kuželů naplní válec

Do válce se tak vejdou přesně tři kužely vody, a objem kužele je proto třetina objemu válce:

$V = \frac{1}{3} \cdot V_{válce} = \frac{1}{3} \cdot π \cdot r^{2} \cdot v$

Přelévání vody je samozřejmě jen pokus, ne důkaz — z kbelíku byste nepoznali, jestli je to přesně třetina, nebo třeba 0,31. Že je to opravdu přesně třetina, se dá dokázat pomocí určitého integrálu, to je ale látka až pro vysokou školu.

Mimochodem, stejná třetina platí i u jehlanu: objem jehlanu je třetina objemu hranolu, který má stejnou podstavu a stejnou výšku.

Příklad: hromada písku

Na stavbě leží hromada písku ve tvaru kužele. Je vysoká 1,5 metru a u země široká 4 metry. Kolik kubíků písku v hromadě je?

Pozor na zradu v zadání: 4 metry je šířka hromady, tedy průměr podstavy, ne poloměr. Poloměr je polovina průměru, takže r = 2 metry. Výška je v = 1,5 metru. Dosadíme do vzorce:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2^{2} \cdot 1, 5$

Umocníme dvojku:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 4 \cdot 1, 5$

Jedna třetina krát 1,5 je 0,5, takže si výpočet můžeme zjednodušit:

$V = π \cdot 4 \cdot 0, 5 = 2 π$

A nakonec dosadíme přibližnou hodnotu pí:

$V \approx 2 \cdot 3, 14 = 6, 28$

V hromadě je přibližně 6,28 metru krychlového písku. Kdo by ji chtěl odvézt stavebním kolečkem, do kterého se vejde zhruba 80 litrů, má před sebou asi osmdesát cest — jeden metr krychlový je totiž tisíc litrů, takže 6280:80 ≈ 79.

Když neznáme výšku

Někdy výšku kužele neznáme, ale známe délku jeho strany s — to je vzdálenost od vrcholu k okraji podstavy. Výška, poloměr a strana dohromady tvoří pravoúhlý trojúhelník, na obrázku je vybarvený zeleně:

Výška v, poloměr r a strana s tvoří pravoúhlý trojúhelník

Strana s je přepona tohoto trojúhelníku, výška v a poloměr r jsou odvěsny. Podle Pythagorovy věty proto platí

$s^{2} = r^{2} + v^{2} .$

Z této rovnosti si vyjádříme výšku:

$v = \sqrt{s^{2} - r^{2}}$

Příklad: Kornout od zmrzliny má nahoře průměr 5 cm a jeho bok měří 6,5 cm. Kolik zmrzliny se vejde dovnitř?

Průměr je 5 cm, poloměr je tedy r = 2,5 cm. Strana kornoutu je s = 6,5 cm. Nejdřív spočítáme výšku:

$v = \sqrt{s^{2} - r^{2}} = \sqrt{6, 5^{2} - 2, 5^{2}}$

Umocníme:

$v = \sqrt{42, 25 - 6, 25} = \sqrt{36}$

A odmocníme:

$v = 6$

Kornout je vysoký 6 cm. Teď už jen dosadíme do vzorce pro objem kužele:

$V = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 2, 5^{2} \cdot 6 = \frac{1}{3} \cdot π \cdot 37, 5 = 12, 5 π \approx 39, 25$

Do kornoutu se vejde přibližně 39 centimetrů krychlových zmrzliny, to jsou necelé čtyři centilitry. Kopeček, který trčí nad kornoutem, je samozřejmě navíc — ten by se počítal jako polovina objemu koule.

Kalkulačka

Zadejte poloměr podstavy a výšku, jednotky si u každého pole můžete přepnout. Kalkulačka používá přesné pí, a vyjde jí proto o něco víc než 94,2.

Viz také

Kapitoly: Objem koule, Objem válce, Objem kužele, Objem krychle, Objem kvádru, Objem hranolu, Objem jehlanu

« Předchozí: Objem válce

Další: Objem krychle »